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title: 지름이란 무엇인가
url: https://oosioo.com/p/%EC%A7%80%EB%A6%84%EC%9D%B4%EB%9E%80-%EB%AC%B4%EC%97%87%EC%9D%B8%EA%B0%80
date: 2026-10-12T10:49:55+00:00
author: SYSOP
summary: 사진에서 입자를 골라냈으면 이제 크기를 숫자 하나로 적어야 한다. 그런데 납작하고 길쭉한 커피 입자에는 지름이 하나가 아니다. 공개된 예시 사진의 실제 입자 1,578개를 다섯 가지 정의로 재 보니 같은 입자의 중앙값이 508 µm에서 776 µm까지 갈렸다. 사진에는 아예 보이지 않는 두께 축이 체로 잰 크기와 부피를 어떻게 바꾸는지도 계산했다.
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# 지름이란 무엇인가

지난 글에서 사진의 픽셀을 입자와 배경으로 갈랐다. 이제 입자 하나마다 크기를 숫자 하나로 적을 차례다. 분쇄도 그래프의 가로축에 놓이는 그 숫자, 흔히 '지름'이라고 부르는 값이다.

공이라면 고민할 것이 없다. 어느 방향으로 재도 같다. 그런데 커피 입자는 공이 아니다. 원두는 깨질 때 모나고 납작한 조각으로 갈라진다. 이런 조각을 위에서 찍으면 긴 쪽과 짧은 쪽이 있고, 옆에서 보면 두께가 따로 있다. 이 셋 가운데 무엇을 지름이라고 불러야 할까. 이번 글은 같은 입자를 여러 정의로 재 보고, 정의만 바꿔도 답이 얼마나 달라지는지 본다.

## 체는 무엇을 재나

분쇄도를 재는 가장 오래된 도구는 체다. 구멍 크기가 다른 체를 위에서부터 큰 순서로 쌓고 가루를 부어 흔든 뒤, 체마다 남은 가루의 무게를 단다.

![금속 테로 된 표준 시험용 체 두 개가 작업대 위에 놓여 있다. 오른쪽 체의 옆면에 「U.S.A. STANDARD TESTING SIEVE No. 40」이라고 적힌 검은 명판이 붙어 있다](/uploads/65d2456b3f48eda8.webp =720)

*미국 표준 시험용 체 40번. 구멍 한 변이 425 µm다. 사진: San Diego Air & Space Museum Archives / Wikimedia Commons (퍼블릭 도메인)*

체는 입자의 어느 길이를 잴까. 입자는 체 위에서 흔들리다가 가장 작은 단면이 구멍을 향하는 순간 빠져나간다. 길쭉한 입자는 긴 쪽을 세워서 지나간다. 그래서 체가 가르는 것은 긴 길이가 아니라 짧은 쪽의 폭이다. 입자 측정 장비를 만드는 마이크로트랙은 커피 가루를 체와 이미지 분석으로 함께 잰 응용 노트에서 같은 설명을 한다. 체 결과는 이미지 분석이 따로 내는 세 가지 크기(폭, 길이, 넓이가 같은 원의 지름) 가운데 폭과 가장 잘 맞았다(Microtrac). 같은 노트는 공 모양 입자였다면 세 분포가 똑같았겠지만 커피에서는 서로 크게 달랐다고 적었다.

![금빛 원형 체를 한 손으로 들고 다른 손에 쥔 붓으로 체 망을 털어 내는 모습. 체 망의 마름모꼴 구멍이 보이고, 뒤로 같은 체가 여러 개 쌓여 있으며, 아래에는 전자저울 위에 금속 그릇이 놓여 있다](/uploads/a4c64ee8d3b94f07.webp =720)

*체마다 남은 가루를 털어 그릇에 모아 무게를 단다. 사진: Soccer jim2002 / Wikimedia Commons (CC BY-SA 4.0, 잘라 씀)*

## 사진은 무엇을 보나

카메라는 입자를 위에서 내려다본다. 종이 위에 흩뿌린 납작한 조각은 대개 가장 넓은 면을 바닥에 대고 눕는다. 그러니 사진에는 긴 쪽과 짧은 쪽이 찍히고, 두께는 찍히지 않는다. 체가 보는 짧은 폭은 사진에도 있지만, 체를 지날 때 같이 작용하는 두께는 사진에 없다.

사진에 찍힌 입자의 윤곽에서 크기를 뽑는 방법은 여럿이다. 이미지 분석 국제 표준(ISO 13322-1)과 입자 모양 표기 표준(ISO 9276-6)에 나오는 대표적인 것들을 실제 커피 입자 하나에 겹쳐 그렸다. 입자는 지난 글에서 쓴 가녜의 예시 사진에서 골랐다. 사진 속 캐나다 25센트 동전(지름 23.88 mm)이 523픽셀이어서, 픽셀 하나가 45.7 µm다.

![왼쪽은 커피 입자 하나를 픽셀이 보이도록 확대한 사진이다. 그 위에 빨간 선(가장 긴 폭)과 빨간 평행선 두 줄, 파란 선(가장 짧은 폭)과 파란 평행선 두 줄, 초록 점선 원(넓이가 같은 원), 주황 사각형(사진 가로세로 축에 맞춘 상자)이 겹쳐 있다. 오른쪽에는 다섯 가지 지름이 적혀 있다. 외접원 1,434 µm, 페렛 최대 1,328 µm, 축 정렬 상자 1,279 µm, 등가원 1,027 µm, 페렛 최소 868 µm](/uploads/9c9f69067589e487.webp =760)

- **페렛 지름.** 입자를 캘리퍼스 두 날 사이에 끼웠을 때의 폭이다. 입자를 돌려 가며 재면 가장 긴 폭(페렛 최대)과 가장 짧은 폭(페렛 최소)이 나온다. 1930년대 프랑스의 L. R. 페레가 쓴 통계 지름에서 이름을 땄다(Walton 1948).
- **등가원 지름.** 입자와 넓이가 같은 원의 지름이다. 픽셀 수만 세면 나오므로 계산이 가장 쉽다.
- **축 정렬 상자.** 사진의 가로축과 세로축에 맞춰 입자를 감싸는 사각형이다. 컴퓨터 비전 라이브러리가 덩어리마다 기본으로 돌려주는 값이라 손이 가기 쉽다.
- **외접원.** 입자를 다 품는 원이다. 여기서는 무게중심에서 가장 먼 점까지 거리의 두 배로 잡았다.

이 입자 하나만 해도 가장 큰 값(외접원 1,434 µm)이 가장 작은 값(페렛 최소 868 µm)의 1.65배다. 어느 쪽도 틀린 측정은 아니다. 서로 다른 것을 쟀을 뿐이다.

## 가녜의 지름, 언스페셜티의 지름

그럼 지금 쓰이는 도구는 어떤 지름을 쓸까. 가녜의 coffeegrindsize 코드를 따라가 보면 이렇다. 덩어리마다 무게중심에서 가장 먼 픽셀까지 거리를 긴 반지름 a로 잡는다. 그다음 넓이를 πa로 나눠 짧은 반지름 b를 만든다. 입자를 넓이가 같은 타원으로 본 것이다. 그래프에 쓰는 지름은 2√(ab)다. 그런데 b가 넓이 ÷ πa이니 2√(ab)는 2√(넓이/π)가 된다. 곧 등가원 지름과 정확히 같다. 긴 반지름을 어떻게 잡든 지름에는 영향이 없다.

차이는 부피에서 생긴다. coffeegrindsize는 사진에 안 보이는 세 번째 축(두께)을 짧은 반지름과 같다고 가정하고 입자를 회전타원체로 보아 부피를 낸다. 코드 주석에 그렇게 적혀 있다. 이 가정이 얼마나 맞는지는 뒤에서 따져 본다.

이 연재의 출발점이 된 언스페셜티의 [「분쇄도 가이드 개발기」](https://community.unspecialty.com/column/c/b573906d-7e50-40a9-8e37-c5ed51c3e38a)(2023)는 일정 크기 이상의 입자에는 윤곽의 외접원 지름을, 작은 입자에는 외접 사각형을 썼다. 위 입자로 치면 외접원은 1,434 µm, 등가원은 1,027 µm다. 두 도구가 같은 입자에 서로 다른 숫자를 붙이는 셈이다. 두 도구의 그래프를 나란히 놓고 비교하면 안 되는 이유다.

## 같은 입자, 다섯 개의 분포

입자 하나가 아니라 사진 전체에서는 어떨까. 지난 글처럼 빈 종이 밝기로 배경을 편 뒤 문턱으로 잘라, 종이 위의 입자 덩어리 2,140개를 얻었다. 그중 볼록도(넓이 ÷ 볼록 껍질 넓이)가 0.85보다 낮은 덩어리는 입자 여럿이 붙은 것일 수 있어 뺐다. 지름 약 330 µm(넓이 40픽셀)보다 작은 입자도 뺐다. 지난 글에서 본 것처럼 이 크기에서는 모양을 제대로 읽을 수 없다. 남은 1,578개를 다섯 가지 정의로 쟀다.

![가로축은 지름(로그 눈금, 300~2000 µm), 세로축은 그 크기보다 작은 입자의 비율(%)인 누적 분포 곡선 다섯 개. 왼쪽부터 페렛 최소(중앙값 508 µm), 등가원(572 µm), 축 정렬 상자(685 µm), 페렛 최대(737 µm), 외접원(776 µm) 순서로 곡선이 오른쪽으로 밀려 있다. 축 정렬 상자 곡선은 픽셀 단위로 계단처럼 꺾인다](/uploads/96678260b2b2cc24.webp =760)

| 정의 | 중앙값 |
|---|---|
| 페렛 최소 | 508 µm |
| 등가원 (= coffeegrindsize의 지름) | 572 µm |
| 축 정렬 상자 | 685 µm |
| 페렛 최대 | 737 µm |
| 외접원 | 776 µm |

같은 사진, 같은 입자, 같은 문턱이다. 그런데 중앙값은 508 µm에서 776 µm까지 1.53배 벌어졌다. 분쇄도 차트에서 이 정도 차이면 그라인더 눈금 여러 칸에 해당한다. 그래서 분쇄도 숫자를 볼 때는 숫자보다 먼저 정의를 물어야 한다.

## 커피 입자는 둥글지 않다

정의 사이의 차이를 만드는 것은 입자의 모양이다. 입자마다 페렛 최소를 페렛 최대로 나눈 값을 길쭉함으로 삼았다. 1이면 둥글고, 작을수록 길쭉하다.

![가로축이 페렛 최소 ÷ 페렛 최대(0.3~1.0)인 히스토그램. 0.7~0.8 부근이 가장 높고 0.35부터 0.93까지 퍼져 있다. 0.71에 검은 세로선(실측 중앙값)이 있고, 그 옆 빨간 띠는 종횡비 0.71인 타원을 같은 배율로 그려 쟀을 때의 범위(0.71~0.72)다. 오른쪽 파란 띠(0.85~0.95)는 완전한 원을 같은 배율로 그려 쟀을 때 나오는 값의 범위다](/uploads/29223e3fbd71fcc7.webp =760)

중앙값은 0.71이었다. 가운데 절반이 0.63~0.78 사이에 있고, 0.6보다 더 길쭉한 입자도 18%다. 크기별로 나눠 봐도 330~500 µm에서 1,200 µm 이상까지 중앙값이 0.71 언저리로 거의 같았다.

이 숫자를 믿기 전에 픽셀 격자 자체가 모양을 얼마나 비트는지 확인해야 했다. 같은 배율(45.7 µm/픽셀)에서 모양을 아는 가상 입자를 그려 똑같은 방식으로 쟀다. 결과는 예상과 달랐다. 완전한 원도 0.85~0.95로 나왔다. 몇 픽셀짜리 원은 계단 모양이라 대각선 방향 폭이 조금 더 길게 잡히기 때문이다. 반면 종횡비가 0.71인 타원은 0.71~0.72로 제대로 나왔다. 그러니 실측 중앙값 0.71은 믿을 만하다. 다만 0.9 근처에 있는 입자들은 실제로는 더 둥글 수 있다. 이 사진에서 1에 가까운 입자가 하나도 없는 것도 커피가 둥글지 않아서라기보다 픽셀의 한계다.

## 상자는 방향을 탄다

축 정렬 상자는 정의 하나가 더 붙는다. 입자가 사진의 축과 몇 도 틀어져 놓였는지에 따라 값이 바뀐다.

![두 개의 그래프. 왼쪽은 길쭉함 0.71인 입자가 놓인 방향(0~90°)에 따라 상자 긴 변 ÷ 등가원 지름이 어떻게 변하는지 그린 것으로, 0°와 90°에서 1.19로 가장 크고 45°에서 1.03으로 가장 작은 V자 곡선이다. 오른쪽은 두께 ÷ 폭(0~1)에 따라 통과하는 가장 작은 정사각 구멍 ÷ 폭을 그린 것으로, 두께 ÷ 폭이 1이면 1이고 0.5에서 0.79, 0.2에서 0.72로 내려가며 0.71(1/√2)에 다가간다](/uploads/3238a32f736c3d4a.webp =760)

길쭉함이 0.71인 입자를 사진 축과 나란히 두면 상자의 긴 변이 등가원 지름의 1.19배다. 45° 돌려 놓으면 1.03배가 된다. 입자를 하나도 바꾸지 않고 종이 위에서 돌리기만 해도 15% 차이가 난다. 가루를 흩뿌리면 방향은 제멋대로이니, 상자 지름에는 입자 크기와 상관없는 흩어짐이 섞인다. 위 분포에서 상자의 중앙값이 등가원과 페렛 최대 사이에 낀 것도 이 때문이다.

## 체는 대각선으로 속는다

체로 돌아가 보자. 체 구멍은 정사각형이다. 정사각형의 대각선은 한 변의 √2배, 약 1.41배다. 아주 얇은 조각은 비스듬히 기울여 대각선 방향으로 밀어 넣으면 폭이 구멍 한 변보다 커도 빠져나간다.

입자를 세 축이 L ≥ W ≥ T인 타원체로 보고 계산해 봤다. 구멍을 지나려면 입자의 가장 작은 단면(폭 W × 두께 T)이 구멍 안에 들어가야 한다. 똑바로 넣으면 구멍 한 변이 W 이상이어야 한다. 45° 돌려 넣으면 √((W² + T²) / 2) 이상이면 된다. 체는 둘 중 작은 쪽을 고른다. 두께가 폭과 같으면 체는 폭을 그대로 잰다. 두께가 폭의 절반이면 폭의 0.79배짜리 구멍도 지나가고, 두께가 폭의 5분의 1이면 0.72배짜리도 지나간다. 아주 얇아지면 0.71배(1/√2)까지 내려간다. 체가 폭을 잰다는 말은 공에 가까운 입자에서만 맞는다. 납작한 입자에서는 체가 폭보다 최대 29% 작은 값을 낸다.

이 계산은 체를 충분히 오래 흔들어 모든 입자가 가장 잘 빠지는 자세를 한 번은 찾는다고 가정한다. 실제로는 정해진 시간 안에 그 자세를 못 찾는 입자도 있으므로, 실제 체 결과는 이 계산과 폭 사이 어딘가에 있을 것이다.

## 사진이 못 보는 축

여기서 문제가 생긴다. 체 크기는 두께에 따라 달라지는데, 사진에는 두께가 안 찍힌다. 부피도 마찬가지다. 부피는 길이 × 폭 × 두께에 비례하니, 두께를 모르면 부피도 모른다. 분쇄도를 질량으로 따질 때는 부피가 곧 무게다.

두께를 몰라도 두께가 바뀌면 무엇이 얼마나 바뀌는지는 계산할 수 있다. 실제 사진에서 잰 크기와 길쭉함 분포에서 입자 2만 개를 뽑아 가상 시료를 만들었다. 그리고 두께 ÷ 폭을 0.2에서 1까지 바꿔 가며 다시 쟀다.

![두 개의 그래프. 왼쪽은 가정한 두께 ÷ 폭(0.2~1.0)에 따른 가상 시료 2만 개의 중앙값이다. 페렛 최대 689 µm, 등가원 572 µm, 페렛 최소 477 µm는 두께와 상관없이 수평선이다. 부피가 같은 구의 지름은 314 µm에서 538 µm로, 체 통과 크기는 344 µm에서 477 µm로 오른다. 오른쪽은 실제 두께 ÷ 폭(0.3, 0.5, 0.7, 1.0)에 따라 부피를 몇 배로 잘못 추정하는지 보여 주는 막대그래프다. 등가원 지름으로 구를 만든 경우 4.0, 2.4, 1.7, 1.2배, coffeegrindsize 방식(숨은 축 = 짧은 축)은 3.3, 2.0, 1.4, 1.0배다](/uploads/bf0b6fc499f068b0.webp =760)

사진이 보는 세 정의(페렛 최대, 등가원, 페렛 최소)는 두께와 상관없이 그대로다. 사진에는 두께가 없으니 당연하다. 반면 체 크기와 부피가 같은 구의 지름은 두께 가정에 따라 크게 움직인다. 두께가 폭의 절반이라고 가정하면 체 크기 중앙값은 377 µm다. 사진의 등가원 572 µm보다 34% 작다. 두께가 폭의 5분의 1이면 체 크기는 344 µm, 부피가 같은 구는 314 µm까지 내려간다. 이때 가장 큰 정의(페렛 최대)와 가장 작은 정의의 차이는 2.19배가 된다.

부피 추정은 더 크게 틀린다. 등가원 지름으로 구를 만들어 부피를 내면, 두께가 폭의 절반인 입자의 부피를 2.4배로 잡는다. coffeegrindsize처럼 숨은 축을 짧은 축과 같다고 두면 2.0배다. 이 방식은 입자가 실제로 두께 = 폭일 때만 맞는다. 사진만으로는 이 가정을 검증할 수 없다. 두께를 따로 재는 수밖에 없다.

## 직접 바꿔 보기

아래 시뮬레이션에서 입자의 길쭉함, 두께, 놓인 방향을 바꿔 볼 수 있다. 왼쪽은 입자 하나를 위에서 본 모습과 다섯 가지 지름, 옆에서 본 두께, 그리고 이 입자가 지나가는 가장 작은 체 구멍이다. 오른쪽은 실제 사진에서 잰 크기와 길쭉함으로 만든 가상 시료 2만 개를 여섯 가지 정의로 잰 중앙값이다. 두께를 0.2까지 내려 보면 체 통과 크기와 부피가 같은 구의 지름이 함께 내려가며, 사진이 보는 세 막대와 멀어진다.

```map /embed/coffee-diameter-2026.html 16:12
커피 입자의 지름 정의를 비교하는 시뮬레이션. 왼쪽은 납작한 타원체 입자 하나를 위에서 본 모습으로, 가장 긴 폭(페렛 최대), 가장 짧은 폭(페렛 최소), 넓이가 같은 원(등가원), 화면 축에 맞춘 상자, 외접원이 겹쳐 그려진다. 그 아래에 옆에서 본 두께와, 이 입자가 똑바로 또는 대각선으로 지나가는 가장 작은 정사각 체 구멍이 그려진다. 오른쪽은 가녜 예시 사진의 실제 입자 1,578개에서 크기와 길쭉함을 뽑아 만든 가상 시료 2만 개를 페렛 최대, 화면 축 상자, 등가원, 페렛 최소, 부피가 같은 구, 체 통과 크기로 잰 중앙값 막대그래프다. 길쭉함, 두께 ÷ 폭, 놓인 방향, 시료의 길쭉함(사진 실측 분포 또는 슬라이더 값 하나)을 바꿀 수 있다.
```

## 이 모델이 빠뜨린 것

- **두께를 재지 않았다.** 이 글의 체 크기와 부피는 모두 두께 ÷ 폭을 가정한 값이다. 커피 입자의 두께는 옆에서 찍거나 초점 거리를 바꿔 가며 찍어야 잴 수 있다
- **입자를 타원체로 봤다.** 실제 입자는 모서리가 있고 오목한 곳도 있다. 체 통과 계산과 부피 계산은 매끈한 타원체 기준이다
- **사진을 원근 보정하지 않았다.** 동전이 가로 524픽셀, 세로 546픽셀로 찍혀 약 4% 찌그러져 있다. 이 정도면 길쭉함 값이 최대 4%쯤 흔들릴 수 있다. 2편의 마커 시트로 찍은 사진이 아니어서 생긴 한계다
- **330 µm보다 작은 입자는 뺐다.** 미분은 픽셀 몇 개라 모양을 잴 수 없다. 이 글의 분포는 굵은 쪽 입자만의 이야기다
- **사진 한 장, 분쇄 한 번이다.** 다른 원두, 다른 그라인더에서 길쭉함이 같은지는 모른다
- **체 실험은 하지 않았다.** 대각선 통과 효과가 실제 체 결과를 얼마나 움직이는지는 같은 가루를 체와 사진으로 함께 재 봐야 안다

## 정리

- 입자의 '지름'은 하나가 아니다. 사진에서 뽑을 수 있는 대표적인 정의만 다섯 개다. 공이면 모두 같지만 커피 입자에서는 크게 갈린다
- 공개 예시 사진의 실제 입자 1,578개를 재 보니 중앙값이 페렛 최소 508 µm, 등가원 572 µm, 축 정렬 상자 685 µm, 페렛 최대 737 µm, 외접원 776 µm였다. 같은 입자인데 정의만 바꿔 1.53배다
- coffeegrindsize의 지름은 등가원 지름과 정확히 같다. 언스페셜티의 방식은 외접원과 상자를 썼다. 두 도구의 그래프는 같은 눈금이 아니다
- 커피 입자의 길쭉함(페렛 최소 ÷ 페렛 최대) 중앙값은 0.71이었다. 픽셀 격자는 둥근 입자를 0.85~0.95로 찌그러뜨리지만, 0.71 근처는 제대로 읽는다
- 축 정렬 상자는 놓인 방향만으로 15% 흔들린다
- 체는 폭을 재지만, 납작한 입자는 대각선으로 빠져나가 폭의 0.71배까지 작게 잡힌다. 사진에 없는 두께가 체 크기와 부피를 정한다. 두께가 폭의 절반이면 등가원으로 낸 부피는 실제의 2.4배다

체와 카메라가 다른 답을 내는 것은 어느 한쪽이 틀려서가 아니다. 서로 다른 축을 보기 때문이다. 분쇄도 숫자를 받아 들면 먼저 무엇을 지름이라고 불렀는지 물어야 한다.

## 참고문헌

- Gagné J. *coffeegrindsize*. GitHub. [링크](https://github.com/jgagneastro/coffeegrindsize) — 긴 반지름(무게중심에서 가장 먼 픽셀), 짧은 반지름(넓이 ÷ π·긴 반지름), 지름 2√(ab), 부피 π·b²·a(숨은 축 = 짧은 축) 코드 확인
- 언스페셜티, 「분쇄도 가이드 개발기」(2023). [링크](https://community.unspecialty.com/column/c/b573906d-7e50-40a9-8e37-c5ed51c3e38a) — 큰 입자는 윤곽의 외접원, 작은 입자는 외접 사각형
- Microtrac. *Coffee powder* (응용 노트, 장비 제조사 자료). [링크](https://www.microtrac.com/applications/coffee-powder/) — 이미지 분석의 폭·길이·등가원 분포가 서로 크게 다르고 체 결과는 폭과 가장 잘 맞는다는 설명
- ISO 13322-1:2014. Particle size analysis — Image analysis methods — Part 1: Static image analysis methods — 서지 확인
- ISO 9276-6:2008. Representation of results of particle size analysis — Part 6: Descriptive and quantitative representation of particle shape and morphology — 서지 확인
- Walton WH (1948). Feret's statistical diameter as a measure of particle size. *Nature* 162, 329–330. [doi:10.1038/162329b0](https://doi.org/10.1038/162329b0) — 서지 확인
- 캐나다 왕립조폐국. 25센트 동전 지름 23.88 mm

## 이미지 출처

- 미국 표준 시험용 체 40번: San Diego Air & Space Museum Archives, [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:23_0050861_Convair_Negative_Image_-_Standard_testing_sieve_(53867493093).jpg), 퍼블릭 도메인 (축소)
- 체 망을 털어 내는 모습: Soccer jim2002, [Wikimedia Commons](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sieve_Analysis.jpg), CC BY-SA 4.0 (잘라 씀)
- 커피 입자 사진: Jonathan Gagné, [coffeegrindsize](https://github.com/jgagneastro/coffeegrindsize) Help/Decent_Example_Picture.png, MIT 라이선스. 입자 확대, 지름 표시, 분포와 길쭉함 그래프는 이 사진을 분석해 직접 만들었다
- 그 밖의 그림과 시뮬레이션: 직접 제작