봉우리가 두 개인 분포

지난 편에서는 커피 가루의 분포에 봉우리가 두 개 있다는 것을 봤다. 큰 봉우리는 그라인더 다이얼을 따라 움직이고, 미분 봉우리는 원두 속 세포 크기인 30~40 µm 근처에 머문다. 세포 조직을 깨뜨리는 모델에서도 같은 모양이 나왔다.

이번 편은 그 분포를 숫자 몇 개로 줄이는 문제를 다룬다. 레이저 회절 장비는 칸이 수십 개인 곡선을 내놓는다. 그라인더를 비교하거나 추출 모델에 넣으려면 그 곡선을 숫자 몇 개로 줄여야 한다. 분쇄 이론에는 이럴 때 쓰는 분포가 이미 있다. 문제는 그 분포들이 대부분 봉우리를 하나만 가진다는 점이다. 봉우리가 둘인 커피 가루에 이 분포를 맞추면 무엇이 빠지는지, 봉우리 두 개짜리 모형을 쓰면 미분이 얼마인지 정확히 말할 수 있는지를 차례로 따져 본다.

분쇄 이론의 분포는 봉우리가 하나다

가루의 크기 분포를 식 하나로 쓰는 고전은 석탄 가루에서 나왔다. 로진과 라믈러는 1933년, 곱게 빻은 석탄의 체 결과를 정리해 체 위에 남는 무게의 비율 R이 크기 x에 따라 이런 모양으로 줄어든다는 경험식을 내놓았다.

R(x) = exp(−(x / x′)ⁿ)

x′은 가루의 63.2%가 그보다 작은 크기다. n은 분포가 얼마나 고른지를 나타낸다. n이 크면 입자 크기가 한곳에 몰리고, 작으면 넓게 퍼진다. 수학적으로는 와이블 분포와 같은 식이다. 와이블은 재료가 가장 약한 곳에서 깨진다는 강도 통계에서 같은 식을 따로 얻었다. 분쇄 이론에서 지금도 가장 많이 쓰는 분포다. 로그정규 분포도 자주 쓰인다. 입자 크기의 로그가 정규분포를 따른다고 보는 것이다. 둘 다 숫자 두 개로 분포를 말하고, 봉우리는 하나다.

로진–라믈러 식에는 오래된 요령이 하나 있다. 양변에 로그를 두 번 취하면 ln(−ln R)과 ln x가 직선 관계가 된다. 그래서 이 눈금으로 그린 '로진–라믈러 그래프 용지'에 체 결과를 찍고 자로 직선을 그으면 기울기가 n이다. 커피 분쇄도 연구에서도 이 방식이 쓰인다. 콩피닛분종 등(2025)은 라이트·미디엄·다크 원두를 12단계로 갈아 레이저 회절로 재고 로진–라믈러 식을 맞춰 균일도를 비교했는데, 초록에 따르면 맞춘 식의 R²가 높았다. 본문은 유료라 읽지 못했다.

커피 가루에 맞추면

지난 편에서 본 모 등(2023)의 네 가루로 해 봤다. 원 데이터는 공개되어 있지 않아서, 논문 그림 3(CC BY)의 곡선 네 개를 색으로 읽어 숫자로 바꿨다. 읽은 곡선으로 계산한 100 µm 아래 부피는 29.7%, 26.9%, 20.4%, 9.9%로, 논문 표의 29.2%, 27.5%, 20.3%, 9.7%와 0.6%p 안에서 맞았다. 자우터 지름 d[3,2]는 76~203 µm로 논문 값(81~214 µm)보다 5%쯤 작게 나왔다. 아주 작은 쪽 꼬리를 그림에서 다 읽지 못한 탓으로 본다. 아래 숫자들은 이 정도 오차를 안고 있다.

왼쪽 그래프는 에스프레소용 가루(Type-E)의 분포에 봉우리 하나짜리 분포 두 가지를 맞춘 결과다. 두 곡선 모두 큰 봉우리를 따라가느라 미분 봉우리를 그냥 지나친다. 100 µm 아래 부피는 실측이 30%인데, 로진–라믈러는 11%, 로그정규는 2%로 냈다. 로진–라믈러는 미분의 3분의 2를, 로그정규는 거의 전부를 놓쳤다.

오른쪽은 같은 데이터를 로진–라믈러 그래프 용지에 찍은 것이다. 점들이 물결처럼 굽어 있다. 그런데 직선을 그으면 R²가 0.93, 0.95로 꽤 높게 나온다(네 가루 모두 0.92~0.95). 누적 곡선은 원래 매끈하게 올라가기 때문에, 그 위에서는 봉우리 하나를 통째로 놓쳐도 R²가 크게 떨어지지 않는다. R²만 보면 잘 맞는다고 착각하기 쉽다.

균일도를 뜻하는 n도 맞추는 방식에 따라 달라진다. 그래프 용지에서 직선을 그으면 네 가루 모두 n이 1.10~1.14로 나온다. 같은 가루에 밀도 곡선을 직접 맞추면 n이 1.5~2.0이다. 직선 맞춤에서는 미분 쪽의 점들이 기울기를 눕히기 때문이다. 같은 가루의 '균일도'가 방법에 따라 거의 두 배까지 달라지니, 다른 논문의 n과 비교할 때는 어떻게 맞췄는지부터 확인해야 한다.

봉우리가 둘인 이유

광물 분쇄에도 분포가 둘로 갈리는 설명이 있다. 입자가 부서지는 방식이 여러 가지라는 것이다. 입자가 통째로 몇 조각으로 쪼개지면 조각의 크기는 원래 입자 크기를 따른다. 표면이 갈려 나가는 마모에서는 원래 크기에 가까운 몸통과 아주 고운 가루가 함께 남는다. 단층 속 암석 가루를 흉내 낸 시뮬레이션에서도 쪼개짐이 주로 일어나면 분포가 넓게 퍼지고, 마모가 주로 일어나면 고운 가루가 따로 쌓여 봉우리가 둘 생겼다(마이어와 아베 2011). 분쇄 공정 모델에서는 한 번 깨질 때 생기는 조각의 분포를 두 멱법칙의 합으로 쓰는 오스틴 계열의 식을 쓰는데, 두 항 중 하나가 고운 조각의 몫을 맡는다(페트라키스 2023).

다만 커피 미분이 버 표면의 마모에서 생기는지, 세포 사이가 쪼개질 때 나오는 조각인지를 가른 실험은 찾지 못했다. 지난 편의 결론은 어느 쪽이든 '작은 쪽'의 크기를 세포가 정한다는 것이었다. 큰 조각은 간극을 따르고, 떨어져 나온 세포는 세포 크기를 따른다. 두 무리가 만드는 크기가 다르니 분포에 봉우리가 둘 생긴다.

그렇다면 분포를 두 성분의 합으로 쓰는 게 자연스럽다. 미분 성분 하나, 굵은 성분 하나에 각각 숫자 두 개, 그리고 둘의 비율 하나. 모두 숫자 다섯 개다. 보라와 브리젠(2026)이 이 방식을 커피에 체계적으로 적용했다. 그라인더 네 대(EK43, 칼날식 하나, 코만단테 두 종)와 원두 세 종으로 만든 가루 28개를 레이저 회절로 재고, 감마·로그정규·와이블·베타프라임 가운데 둘을 섞은 혼합 분포 10가지를 맞췄다. 가장 잘 맞은 세 조합(로그정규+와이블, 감마+와이블, 와이블+베타프라임)은 모두 굵은 성분을 와이블, 곧 로진–라믈러 모양으로 잡았다. 저자들은 분포를 그림이나 지름 하나로 보고하지 말고 이런 다섯 숫자로 보고하자고 제안했다.

혼합 분포를 쓰면 숫자가 하나 덤으로 생긴다. 미분 성분의 비율이다. 미분이 얼마나 되는지를 이 숫자 하나로 말할 수 있다면 편리하다. 그래서 이 숫자를 얼마나 믿을 수 있는지 확인해 봤다.

세 가지 혼합 모형으로 나눠 보면

같은 Type-E 곡선을 세 가지 혼합 모형으로 나눠 봤다. 로그정규 둘, 로그정규(미분)와 로진–라믈러(굵은 입자), 로진–라믈러 둘이다. 셋 다 숫자 다섯 개짜리다.

세 모형 모두 점을 거의 똑같이 따라간다. 어긋남(제곱근 평균 제곱 오차)은 0.013~0.018로 차이가 0.005 정도밖에 안 된다. 그런데 미분 성분의 비율은 27.3%에서 33.7%까지 달라졌다.

갈리는 곳은 두 봉우리 사이, 50~200 µm 구간이다. 이 구간의 입자를 어느 성분이 가져가느냐는 데이터가 아니라 모양이 정한다. 로그정규는 로그 눈금에서 좌우가 대칭이라 굵은 성분의 왼쪽 꼬리가 짧다. 그러면 남는 몫을 미분 성분이 넓게 퍼져서 가져간다. 로진–라믈러는 로그 눈금에서 왼쪽 꼬리가 길다. 굵은 성분이 가운데 구간을 많이 가져가고, 미분 성분은 좁아진다.

네 가루 모두 같은 일이 생겼다. 굵은 성분을 로그정규로 놓으면 미분 몫이 언제나 크게 나오고, 로진–라믈러로 놓으면 작게 나온다. 드립용 F에서는 17%와 9%로 두 배 차이가 났다. 어긋남으로 모형을 고를 수 있으면 좋겠지만 그것도 어렵다. 가장 잘 맞은 모형이 E에서는 로그정규+로진–라믈러였고, H·M·F에서는 로그정규+로그정규였다. 차이도 0.01이 안 됐다.

반대로 '100 µm 아래 부피'는 어느 모형으로 계산해도 논문 값과 1.1%p 안에서 맞았다. 모형마다 갈린 것은 미분 성분의 비율이고, 곡선 자체는 모두 같았기 때문이다. 정해진 크기에서 자른 비율은 데이터에서 바로 나오는 값이다. 성분의 비율은 모양을 가정해야 나오는 값이다.

공개 원자료로 다시

그림에서 읽은 곡선에는 아무래도 오차가 섞인다. 그래서 원자료가 공개된 커피 가루 분포를 찾아 같은 일을 해 봤다. 멘데스 하퍼 등(2024)은 분쇄할 때 생기는 정전기를 다룬 논문의 레이저 회절 원자료를 CC BY로 공개해 두었다. EK43 설정 2로 간 원두 1A에 분쇄 전 물을 0~20 µL/g 넣은 가루 다섯 개, 디카페인 원두를 같은 설정으로 간 가루 두 개(반복 측정), 그 디카페인 가루를 설정 6으로 한 번 더 간 가루 하나, 모두 여덟 개다. 장비는 Mastersizer 2000(건식)이고 칸 100개의 부피 비율이 그대로 들어 있다.

이 자료에서는 로그정규 둘이 훨씬 잘 맞았다. 어긋남이 0.002~0.014로, 굵은 성분에 로진–라믈러를 쓴 모형(0.020~0.032)보다 작았다. 보라와 브리젠의 결과와 반대다. 어떤 모양이 잘 맞느냐부터가 장비와 가루에 따라 달라진다는 뜻이다.

미분 몫은 이번에도 모형에 따라 갈렸다. 로그정규 둘은 11~15%, 굵은 성분을 로진–라믈러로 놓은 모형은 대부분 6~10%를 냈다. 같은 시료에서 1.6~2.2배 차이다. 100 µm 아래 부피는 10~14%였다.

더 눈여겨볼 것은 빈 동그라미다. 여덟 시료 중 둘에서 로진–라믈러가 들어간 모형이 미분 봉우리를 내버려 두고 두 번째 성분을 굵은 봉우리에 썼다. 왼쪽 그림의 초록 점선이 그 경우다. 이름은 '미분 성분'인데 실제로는 굵은 봉우리의 절반이다. 굵은 봉우리의 모양이 로진–라믈러와 조금만 달라도, 전체의 10%인 작은 봉우리를 맞추는 것보다 큰 봉우리의 어긋남을 메우는 쪽이 오차를 더 줄인다. 미분 봉우리 근처에서 다시 출발해 맞추면 미분 몫 6%짜리 답이 나오지만, 그 답의 오차가 더 크다. 오차만 보고 고르면 엉뚱한 답이 이긴다.

보라와 브리젠의 보조자료에 실린 적합 숫자로도 같은 경향을 확인할 수 있다. 봉우리가 뚜렷한 22개 시료에서 로그정규+와이블이 낸 미분 몫(10~43%)은 감마+와이블보다 시료마다 1.6~7.9%p(중앙값 3.4%p) 컸다. 두 조합의 오차는 거의 같았다. 미분 쪽에 꼬리가 두꺼운 분포를 쓰면 미분 몫이 커진다.

한 가지 더 짚어 둔다. 이 원자료에서 미분 봉우리는 로그 축 그래프로 약 50~65 µm에 있었다. 지난 편에서 말한 30~40 µm보다 오른쪽이다. 장비마다 빛 산란을 크기로 바꾸는 모형이 다르고, 건식으로 흩뿌리면 정전기로 뭉친 미분이 섞일 수도 있다. 보라와 브리젠도 분쇄 단계를 바꾸면 미분 봉우리의 높이만 바뀌고 위치는 그대로라고 썼으니 '움직이지 않는다'는 결론은 그대로다. 다만 그 위치를 숫자로 말할 때는 어떤 장비로, 어떤 축에 그렸는지를 함께 적어야 한다.

정답을 정해 두고 다시 맞추기

모양을 잘못 고르면 얼마나 빗나가는지 따로 재 봤다. 네 가루에 맞춘 혼합 모형을 '정답'으로 두고, 그 곡선을 다른 모양의 모형으로 다시 맞췄다. 혼합 분포를 '정답 생성기'로 쓰는 셈이다.

정답이 로그정규+로진–라믈러일 때 로진–라믈러 둘로 맞추면 미분 몫이 0.2%p 안에서 맞았다. 굵은 성분의 모양이 같으면 미분 성분의 모양이 조금 달라도 괜찮다는 뜻이다. 반대로 같은 정답을 로그정규 둘로 맞추면 미분 몫이 E에서 27.3% → 35.0%, F에서 9.2% → 23.1%가 됐다. 정답의 2.5배다. 이때 어긋남은 0.024~0.029로, 실측 곡선을 맞출 때의 어긋남(0.012~0.023)과 크게 다르지 않았다. 어긋남이 이 정도면 '잘 맞았다'고 넘어가기 쉽다.

정답이 있는 가루로 확인하기

정답 생성기는 정답을 혼합 분포로 만들었으니, 정답과 같은 가족의 모형을 고르면 당연히 맞는다. 실제 가루의 미분이 어떤 모양인지는 아무도 모른다. 그래서 지난 편의 세포 조직 모델로 돌아갔다. 이 모델에서는 입자마다 어디서 왔는지 라벨이 붙어 있다. 균열 자리에서 으스러진 세포에서 나온 가루가 정답 미분이고, 균열로 갈린 조각이 굵은 입자다.

모델에는 한 가지를 더했다. 지난 편의 모델은 조각이 간극보다 작아지면 바로 멈춰서 굵은 봉우리가 실측보다 훨씬 뾰족했다. 실제 버는 출구의 틈이 자리마다 다르고, 조각이 어디로 빠져나가느냐에 따라 멈추는 크기가 달라진다. 그래서 조각마다 멈추는 크기를 대략 간극의 3분의 2배에서 1.5배 사이로 흩어 놓았다(로그 표준편차 0.4).

간극 200~800 µm에서 정답 미분 몫은 30%에서 8%로 줄었다. 로그정규+로진–라믈러로 맞춘 미분 몫은 정답보다 1~3%p 많았다. 50~150 µm에 있는 작은 조각 일부를 미분 성분이 가져갔기 때문이다. 로그정규 둘로 맞추면 2~5%p 많았고, 간극 800 µm에서는 47%가 나왔다. 이 경우 모형은 두 번째 성분을 미분이 아니라 굵은 봉우리의 비뚤어진 모양을 메우는 데 썼다. 숫자만 보면 그럴듯한 결과가 나오지만 내용은 엉뚱하다.

'100 µm 아래 부피'는 간극이 좁을 때 정답보다 크게 나왔다(간극 200 µm에서 38% 대 30%). 가늘게 갈면 굵은 조각 자체가 100 µm 근처까지 내려오기 때문이다. 간극이 400 µm보다 넓으면 정답과 2%p 안이었다.

정리하면, 굵은 성분을 로진–라믈러로 놓은 혼합 모형은 미분의 양을 정답보다 조금 많게, 그러나 일관되게 추정했다. 보라와 브리젠이 실측 가루에서 굵은 성분은 와이블이 맞는다고 한 것과 같은 방향이지만, 앞의 원자료에서는 로그정규가 더 잘 맞았다. 이것은 내 모델 안에서의 결과다. 실제 미분이 이 모델과 같은 모양이라는 보장은 없다.

작은 쪽을 못 보면

1부에서 쓴 측정 도구는 카메라였다. 카메라는 미분을 거의 보지 못한다. 그러면 혼합 모형으로 미분을 추정할 수 있을까. 실측 Type-E 곡선에서 일정 크기 아래를 지우고 맞춰 봤다.

왼쪽 그래프에서 보듯, 작은 쪽을 50 µm까지만 가려도 미분 몫이 12%에서 39%까지 흩어졌다. 100 µm 아래를 가리면 모형에 따라 0.6%, 35%, 100%가 나왔다. 200~300 µm 아래를 가리면 12~81%가 나왔는데, 이때 '미분 성분'은 미분이 아니라 굵은 봉우리를 둘로 쪼갠 한쪽이다.

오른쪽은 1부에서 가녜의 사진으로 잰 입자 2,140개다. 가장 작은 입자가 326 µm라 미분 봉우리가 아예 없다. 여기에 혼합 모형을 맞추면 로그정규 둘은 '미분 성분'을 40%, 로진–라믈러가 들어간 두 모형은 86~87%로 냈다. 어느 쪽이든 1,000 µm 근처의 큰 입자를 둘로 나눈 것뿐이다. 데이터에 없는 봉우리는 모형도 찾지 못한다.

같은 사진 데이터에 로진–라믈러 직선을 그으면 n이 3.0, R²가 0.95다. 레이저로 잰 실측 가루의 n(1.1)보다 훨씬 고른 가루처럼 보인다. 미분을 못 보는 측정은 가루를 실제보다 고르게 보이게 만든다. 1부의 사진 측정으로는 큰 입자 쪽, 곧 굵은 성분의 모양까지만 말할 수 있다.

직접 해 보기

아래에서 데이터와 모형을 골라 직접 맞춰 볼 수 있다. 위 버튼으로 데이터를 고른다. 실측 E·H·M·F는 모 등(2023)의 곡선을 읽은 값이고, '원자료'는 멘데스 하퍼 등(2024)의 EK43 가루 두 개다. '모델 가루'는 정답 라벨이 있는 세포 조직 모델, '정답 생성기'는 미분 성분과 굵은 성분을 손잡이로 정해 만든 곡선, '1부 카메라'는 가녜 사진으로 잰 입자다. 오른쪽에서 모형을 고르면 바로 맞춘다. 주황이 미분 성분, 회색이 굵은 성분이고, 정답을 아는 데이터에서는 빨간 점선이 정답 미분이다. '이 크기 아래는 못 봄'을 올리면 장비가 작은 쪽을 못 보는 상황이 된다.

정답 생성기에서 미분 폭을 넓히거나 굵은 고르기(n)를 낮추면 두 봉우리가 겹친다. 그때 아래 표의 세 모형이 내는 미분 몫이 얼마나 벌어지는지 보면 된다.

이 결론이 빠뜨린 것

• 모 등의 곡선은 논문 그림에서 읽은 값이다. 100 µm 아래 부피는 논문과 0.6%p 안에서 맞았지만, d[3,2]는 5% 작게 나왔다. 아주 작은 쪽 꼬리는 덜 읽혔다. 원 데이터로 다시 맞추면 숫자가 조금 달라질 수 있다
• 모형은 세 가족만 봤다. 보라와 브리젠(2026)은 열 가지를 비교했다. 감마, 베타프라임 같은 다른 모양을 쓰면 미분 몫이 또 달라질 것이다
• 맞추는 기준은 하나만 썼다. 로그 칸 밀도의 제곱 오차를 줄였다. 보라와 브리젠은 µm 축 밀도의 오차를 줄였다. 누적 곡선으로 맞추거나 칸마다 무게를 다르게 주면 결과가 바뀐다. 어떤 모양이 가장 잘 맞느냐가 이 글과 그들의 결과에서 엇갈린 데에는 이 차이도 있을 것이다
• 원자료는 한 그라인더, 한 설정이다. 멘데스 하퍼 등의 자료는 EK43 설정 2(와 재분쇄 하나)뿐이고 건식 측정이라 정전기로 뭉친 미분이 섞였을 수 있다
• 정답 있는 가루는 2D 모델이다. 미분 성분이 정답보다 1~3%p 많다는 결과는 이 모델의 미분 모양에 기대고 있다. 실제 미분은 세포 크기 조각 말고도 더 작은 벽 파편과 기름 방울이 섞여 있어 더 넓게 퍼진다
• 간극 흩어짐(0.4)은 내가 정한 값이다. 실제 버 출구에서 조각이 빠져나가는 크기가 얼마나 흩어지는지 잰 자료는 찾지 못했다
• 카메라 데이터는 다른 원두다. 가녜 사진의 가루와 모 등의 가루는 같은 원두가 아니어서 n을 직접 비교할 수는 없다. 측정 방법이 '고른 정도'를 얼마나 바꾸는지 보여 주는 예로만 썼다

정리

• 분쇄 이론의 고전 분포(로진–라믈러, 로그정규)는 봉우리가 하나다. 커피 가루에 맞추면 큰 봉우리만 따라가고, 에스프레소용 가루에서 100 µm 아래 30% 중 11%(로진–라믈러), 2%(로그정규)만 잡았다
• 로진–라믈러 그래프 용지에서는 미분을 놓쳐도 R²가 0.93~0.95로 높다. 균일도 n은 직선 맞춤이면 1.1, 밀도 맞춤이면 1.5~2.0으로 방법에 따라 갈렸다
• 봉우리가 둘인 것은 크기를 정하는 길이가 둘이기 때문이다. 조각은 간극을 따르고, 떨어져 나오는 세포는 세포 크기를 따른다. 광물 분쇄에서도 쪼개짐과 마모가 함께 일어나면 비슷한 이봉이 생긴다
• 숫자 다섯 개짜리 혼합 모형은 곡선을 잘 따라가지만, 미분 성분의 몫은 고르는 모양에 따라 27~34%(에스프레소), 9~17%(드립)로 갈렸다. 공개 원자료(EK43)에서도 11~15%와 6~10%로 갈렸다. 어긋남으로는 고를 수 없었고, 원자료 여덟 개 중 둘에서는 오차가 가장 작은 답이 굵은 봉우리를 쪼갠 엉뚱한 답이었다
• 정답이 있는 모델 가루에서는 굵은 성분을 로진–라믈러로 놓은 모형이 미분 몫을 1~3%p 많게, 일관되게 추정했다. 로그정규 둘은 더 많이 빗나갔고 한 번은 엉뚱한 곳을 미분이라 불렀다
• 작은 쪽을 못 보면 미분 몫은 아무 값이나 된다. 1부의 사진 측정에서는 미분 봉우리가 없어서, 혼합 모형이 큰 입자를 둘로 나눌 뿐이었다

미분이 얼마인지 말하고 싶다면 두 가지 중 하나를 고르면 된다. 정해진 크기 아래의 비율(100 µm 아래 부피 같은)을 쓰면 모형 없이 데이터에서 바로 나온다. 혼합 모형의 미분 성분을 쓰려면 어떤 모양을 골랐는지 함께 적어야 한다. 둘 다 미분 봉우리를 볼 수 있는 장비로 잰 데이터일 때의 이야기다.

참고문헌

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• Mo C, Johnston R, Navarini L, Suggi Liverani F, Ellero M (2023). Exploring the link between coffee matrix microstructure and flow properties using combined X-ray microtomography and smoothed particle hydrodynamics simulations. Scientific Reports 13, 16374. doi:10.1038/s41598-023-42380-y — 그림 3의 네 분포, 표 1
• Gagné J. coffeegrindsize. GitHub. 링크 — 1부에서 쓴 예시 사진

이미지 출처

• 모든 그래프, 표지, 시뮬레이션: 직접 제작
• 실측 곡선: Mo C 외(2023), Scientific Reports 13:16374, 그림 3(a)를 읽어 다시 그렸다. CC BY 4.0
• 원자료 그래프: Méndez Harper 외(2024)의 figshare 공개 자료(CC BY 4.0)로 직접 그렸다
• 1부 카메라 데이터: Jonathan Gagné의 coffeegrindsize 예시 사진(MIT 라이선스)에서 「지름이란 무엇인가」 편에 잰 입자