체로 정답 맞추기

지난 글에서는 사진 한 장의 답이 얼마나 흔들리는지 쟀다. 입자를 많이 세면 흩어짐은 줄지만, 측정이 한쪽으로 치우쳐 있으면 사진을 아무리 모아도 정답 쪽으로 가지 않았다. 그러면 치우침은 어떻게 잡을까. 정답을 아는 다른 측정과 맞대 보는 수밖에 없다. 홈 바리스타가 손에 넣을 수 있는 가장 흔한 '다른 측정'은 체다.

언스페셜티의 「분쇄도 가이드 개발기」도 사진 측정을 크루브(Kruve) 체로 맞췄다. 이번 글은 그 맞추기가 정확히 무엇을 맞추는 일인지 따져 본다. 체와 사진은 같은 커피에 얼마나 다른 답을 하는지, 그 차이는 어디서 오는지, 그리고 계수 하나로 이으면 어떤 커피에서 틀리는지를 잰다.

체는 무엇을 재나

7편에서 체, 레이저, 카메라를 나란히 놓고 봤다. 그때 체는 국제 표준 체처럼 네모난 그물눈으로 가정했다. 크루브는 다르다. 크루브는 철사로 그물을 짜지 않고, 얇은 스테인리스 판에 사진 식각(photo-etching)으로 구멍을 낸다. 판매처의 제품 사진을 확대해 보면 구멍은 벌집처럼 엇갈려 늘어선 동그라미다. 크루브 공식 페이지에는 구멍 모양도, 구멍 크기의 허용 오차도 숫자로 적혀 있지 않다. 지금 파는 판은 체를 열다섯 장까지 쓸 수 있고, 판매처 설명으로는 200 µm부터 1,600 µm까지 100 µm 간격이다. 이 글의 가상 체도 이 열다섯 장으로 맞췄다.

구멍 모양이 왜 중요한가. 체는 입자의 가장 작은 단면이 빠져나갈 수 있느냐를 묻는다. 커피 조각을 위에서 본 길이를 a, 폭을 b, 두께를 c라고 하자(a ≥ b ≥ c). 조각은 길이 방향을 세워 구멍에 들어가면 되니, 체가 보는 것은 폭 b와 두께 c로 된 단면이다.

• 둥근 구멍(지름 D)에는 단면이 b ≤ D이면 들어간다. 단면을 타원으로 보면 긴 쪽 b가 구멍 지름보다 작으면 된다
• 네모 그물눈(한 변 w)에는 단면을 대각선으로 기울여 넣을 수 있다. 타원 단면이 정사각형 안에 들어가는 조건은 √((b² + c²)/2) ≤ w다. 아주 납작한 조각은 b가 w의 1.41배(√2)까지 들어가고, 단면이 동그란 조각은 b = w에서 멈춘다

그래서 같은 입자를 거르려면 둥근 구멍이 네모 눈보다 커야 한다. 두께가 폭의 0.6배인 조각이면 1.21배다. 둥근 구멍 체와 네모 그물 체를 서로 바꿔 읽는 정해진 환산 계수는 이번에 찾아본 표준 문서에 없었다. 이 환산은 두께비에 따라 1.0에서 1.4까지 움직인다. 커피 조각이 얼마나 납작한지는 아직 아무도 제대로 재지 않았으니, 크루브 체의 '800 µm'와 표준 체의 '800 µm'를 같은 눈금으로 읽으면 안 된다.

이 연재의 가상 커피(6편의 이봉 모델, 두께비 0.6)를 두 가지 체에 걸러 봤다. 둥근 구멍 체로 무게 중앙값(D50)은 770 µm, 네모 그물 체로는 662 µm였다. 같은 커피, 같은 눈금 숫자인데 16% 다르다.

둥근 구멍에는 좋은 점이 하나 있다. 통과 조건이 폭 b 하나로 정해져서 두께가 무엇이든 거르는 기준이 같다. 두께비를 0.3에서 1까지 바꿔도 둥근 구멍 체의 D50은 768~772 µm로 거의 움직이지 않았다. 네모 그물 체는 574 µm에서 741 µm로 29% 움직였다. 두께가 크기와 상관없이 고르다면, 둥근 구멍 체의 답은 '폭으로 센 무게 분포' 그 자체다. 사진으로 잴 수 있는 양이다.

체로 나눈 칸을 사진으로 찍으면

체와 사진을 잇는 가장 직접적인 방법은 체로 나눈 칸을 하나씩 사진으로 찍는 것이다. 600~700 µm 칸의 입자들을 찍어서 사진 지름을 재면, 그 칸이 사진으로는 몇 µm로 보이는지 바로 나온다.

진짜 체로 이 실험을 하지는 못했다. 대신 가녜 예시 사진의 입자 1,578개를 썼다. 입자마다 최소 캘리퍼 폭(Fmin)을 재서 둥근 구멍 체의 통과 폭 b로 보고, 가상의 체 칸으로 나눈 다음 칸마다 사진 지름(ECD, 넓이가 같은 원의 지름)을 모았다. 사진에 누운 조각의 Fmin은 폭 b에 가깝다고 본 것이다.

같은 칸에 든 입자도 사진으로는 꽤 다른 크기로 찍혔다. 300~1,200 µm 칸에 든 가녜 사진 입자 1,494개 가운데 49%는 사진 지름으로 재면 자기 칸 밖에 놓였고, 거의 모두(48%) 위 칸 쪽이었다. 칸마다 사진 지름 중앙값은 체 칸 가운데보다 5~12% 컸다. 사진 지름은 길쭉한 조각의 길이까지 넓이로 넣지만, 둥근 구멍은 폭만 보기 때문이다. 가녜 사진 전체에서 Fmin ÷ ECD의 중앙값은 0.91이었다.

모델 커피에서는 작은 칸일수록 이 비가 커졌다(250 µm 칸 1.25). 칸 경계에 걸친 입자가 많고, 칸 안에서도 작은 쪽으로 치우친 분포라서 그렇다. 사진 지름을 체 크기로 바꾸는 계수도 칸마다 따로 정해야 한다는 뜻이다.

같은 커피, 다른 답

이제 커피 전체로 비교해 보자. 이 연재의 사진 측정은 ECD로 재고, 330 µm(넓이 40픽셀) 아래는 버리고, 부피를 ECD³로 센다. 같은 가상 커피를 둥근 구멍 체와 사진으로 재면 다음과 같다.

사진의 D50은 976 µm로 체보다 27% 컸다. 이 차이를 둘로 나눠 볼 수 있다.

1. 지름의 정의(+11%). 체는 폭으로, 사진은 넓이로 잰다. 모든 입자를 실제 무게로 셀 때도 ECD로 재면 855 µm, 폭으로 재면 770 µm다
2. 사진이 못 보는 미분(+14%). 체의 팬(200 µm 미만)에는 무게의 17%가 내려온다. 사진은 330 µm 아래를 보지 못하니, 그 무게를 빼고 남은 입자끼리 중앙값을 낸다

둘 다 사진의 잘못이라기보다 사진이 다른 질문에 답한 결과다. 그렇다면 사진이 체와 같은 질문에 답하게 만들 수 있다. 지름은 ECD 대신 Fmin으로 재고, 무게는 넓이 × 폭(두께가 폭에 비례한다고 보고)으로 센다. 이렇게 바꾸면 880 µm로 차이가 14%로 준다. 남은 차이는 미분이다. 이것은 사진으로 풀 수 없으니 저울로 푼다. 300 µm 체 한 장으로 가루를 걸러 통과한 무게를 달고, 그 몫을 사진 분포의 맨 아래에 붙인다. 그러면 771 µm로, 체와 0.2% 안에서 맞았다.

계수 하나로 이으면

가장 쉬운 맞추기는 계수 하나다. 체 D50 ÷ 사진 D50을 한 번 구해 두고, 다음부터는 사진 D50에 그 계수를 곱한다. 이 가상 커피에서는 0.789다. 문제는 그 계수가 다른 커피에도 맞느냐다.

분쇄도를 바꾸는 것만으로는 계수가 크게 흔들리지 않았다. 굵은 봉우리를 970 µm에서 650 µm나 1,300 µm로 옮겨도 어긋남은 4% 안이었다. 납작함이 고르게 바뀌어도 둥근 구멍 체에서는 계수가 그대로였다.

계수를 흔든 것은 미분의 양이었다. 미분이 무게의 20%인 커피에서 맞춘 계수를 미분 30%인 커피에 쓰면 +10%, 10%인 커피에 쓰면 −7% 어긋났다. 사진은 미분을 보지 못하니, 미분이 늘거나 줄어도 사진 D50은 그대로이고 체 D50만 움직인다. 그라인더를 바꾸거나 버를 바꾸면 미분 몫이 달라진다. 코니컬과 플랫, 새 버와 길든 버의 차이가 바로 이런 것이다. 계수 하나로 맞춘 사진은 그 차이를 보지 못한다.

작은 입자가 더 두꺼운 커피(작은 조각일수록 두께비가 1에 가까워진다고 가정)에서는 +16%까지 어긋났다. 같은 폭이라도 두꺼운 미분이 더 무거우니 체 쪽 무게 분포가 아래로 내려간다.

사진의 폭에 300 µm 체 무게를 보태는 방식은 일곱 경우 모두 1% 안에서 맞았다. 미분의 양은 저울이 직접 재고, 두께가 크기에 따라 달라지는 부분은 대부분 300 µm 아래에서 일어나기 때문이다. 다만 이 결과는 '둥근 구멍은 폭으로 거른다'와 '사진의 Fmin이 그 폭이다'라는 이 모델의 가정 위에 서 있다. 실제 커피 조각이 이 가정에서 얼마나 벗어나는지는 진짜 체로 해 봐야 안다.

체도 흔들어야 답한다

체를 정답으로 쓰려면 체 쪽 오차도 알아야 한다. 7편에서는 '충분히 흔들었을 때'와 '짧게 흔들었을 때'만 나눠 봤다. 이번에는 시간에 따라 어떻게 변하는지 따라가 봤다.

체 거르기는 한 번에 끝나지 않는다. 구멍보다 훨씬 작은 입자는 금방 빠지지만, 구멍과 거의 같은 크기의 입자는 딱 맞는 자세로 구멍 위에 놓일 때까지 기다려야 한다. 체 이론에서는 공 모양 입자가 네모 구멍을 지날 확률을 흔히 (1 − 입자 크기/구멍 크기)²에 비례하는 꼴로 쓰고, 가우딘(1939)에게 그 출처를 돌린다. 철사 굵기 w까지 넣으면 ((a − d)/(a + w))² 꼴이다(a는 눈 크기, d는 입자 지름). 공을 아무 데나 떨어뜨렸을 때 철사에 닿지 않고 눈 안으로 들어갈 넓이의 비율이다. 실제 거르기와는 차이가 크다는 지적도 있어서, 여기서는 꼴만 빌린다. 이 꼴을 빌려, 흔들 때마다 입자가 p₀ × (1 − b/D)²의 확률로 구멍을 빠져나간다고 두었다. p₀는 커피로 잰 값이 없으니 두 가지(초당 0.5와 그 3분의 1)로 해 봤다.

결과는 두 가지다. 첫째, 팬에 내려오는 미분은 금방 끝나지만 D50은 오래 걸린다. 잘 빠지는 체에서도 2분에 +14%, 5분에 +7%, 10분에 +4%였다. 구멍과 비슷한 크기의 입자가 계속 위 칸에 머물러서 분포가 굵은 쪽으로 치우친다. 이 시간은 모델의 시간이라 절대값은 믿을 수 없다. 다만 '충분히'의 기준이 몇 분이냐에 따라 체의 답이 몇 퍼센트씩 움직인다는 것은 이 꼴의 확률이면 피할 수 없다. 크루브는 거르는 데 1분이 안 걸린다고 소개한다. 이 모델의 1분은 D50 +26%였지만, 모델의 시간과 실제 시간을 맞춘 적이 없으니 이 숫자를 크루브의 오차로 읽으면 안 된다. 1분 만에 '끝났는지'는 저울로 확인할 일이다.

둘째, 미분이 굵은 입자에 붙으면 아무리 오래 흔들어도 그 무게는 굵은 칸에 남는다. 100 µm 미만 미분의 절반이 붙는다고 하면 팬이 17%에서 9%로 줄고 D50은 +12%에서 멈췄다. 시간으로는 고칠 수 없는 치우침이다. 7편에서 본 대로 갓 간 커피는 정전기를 띠고(멘데스 하퍼 등, 2024), 기름 때문에 가루가 서로 붙는다. 미분이 실제로 얼마나 붙어 남는지 잰 자료는 이번에도 찾지 못했다.

사진에 체를 맞추면 이 치우침이 그대로 사진에 옮겨 간다. 계수 하나로 맞췄다면 그 계수는 '그날 그 시간 동안 흔든 체'에 맞춘 것이다.

직접 해 보기

아래 가상 체에서 '흔들기'를 누르면 입자 24,000개가 체 열다섯 장을 지나 내려간다. 주황 막대는 지금까지 흔든 체에 남은 무게, 검은 선은 끝까지 흔들었을 때, 파란 막대는 사진이 본 부피다. 오른쪽 표에서 체 D50이 시간에 따라 어떻게 내려오는지, 사진 D50과 몇 배 차이가 나는지 볼 수 있다.

둥근 구멍과 네모 그물을 바꾸고 두께비를 움직여 보자. 둥근 구멍에서는 검은 선이 거의 그대로이고, 네모 그물에서는 두께비를 낮출수록 아래 칸으로 내려간다. 미분 몫을 바꾸면 사진 D50은 그대로인데 체 D50만 움직인다. '사진: 폭 + 300 µm 체 무게'로 바꾸면 사진 D50이 끝까지 흔든 체에 붙는다.

실제로 맞춰 본다면

이 글의 계산은 모두 컴퓨터 안의 체로 한 것이다. 진짜 크루브로 같은 일을 한다면 다음 순서가 이 계산에서 나온 결론에 맞는다.

1. 체 한 장으로 미분 무게부터 단다. 300 µm 체(크루브라면 그에 가까운 눈)를 통과한 무게 몫은 사진이 끝내 알 수 없는 값이다. 계수 하나보다 이 숫자 하나가 더 많은 것을 고친다
2. 흔드는 시간을 늘려 가며 무게가 멈추는지 본다. 1분 더 흔들었을 때 칸 무게가 거의 바뀌지 않으면 끝난 것으로 본다. 끝난 시점이 커피마다 다르면, 그 차이가 체의 답에 그대로 들어간다
3. 칸마다 사진을 찍는다. 칸 하나를 종이에 뿌려 찍으면 그 칸이 사진에서 어떤 Fmin과 ECD로 보이는지 나온다. 이것이 둥근 구멍이 폭으로 거른다는 가정을 직접 시험하는 길이다
4. 칸마다 무게와 넓이를 함께 단다. 칸의 무게를 사진에 찍힌 넓이 합으로 나누면 평균 두께 × 밀도가 나온다. 가상 실험에서는 이 값으로 칸마다 두께비가 그대로 되살아났다. 모델이 그렇게 만들어졌으니 당연한 결과이고, 진짜 커피에서는 이것이 첫 측정값이 된다. 체와 사진이 각자 못 보는 두께를 둘을 함께 써서 볼 수 있다. 다만 입자 밀도를 20% 틀리게 알면 두께도 20% 틀린다

이 실험이 빠뜨린 것

• 진짜 체를 쓰지 않았다. 크루브 체도 표준 체도 없이, 둥근 구멍과 네모 그물을 기하 조건으로 흉내 냈다. 실제 커피 조각이 이 조건대로 빠지는지는 3번 실험을 해 봐야 안다
• 단면을 타원으로 봤다. 모서리가 있는 조각은 같은 폭이라도 둥근 구멍에 덜 들어간다. 그러면 체의 답이 더 커진다
• 두께비는 가정이다. 0.6을 기본으로 0.3~1을 바꿔 봤다. 커피 조각의 두께를 직접 잰 자료는 이번에도 찾지 못했다
• 흔드는 속도 p₀와 붙는 미분 몫은 정하지 못했다. 둘 다 시나리오로만 넣었다. 시간 그래프의 절대값은 믿지 말고 모양만 보자
• 구멍 크기의 제작 오차는 넣지 않았다. 크루브는 구멍 크기의 허용 오차를 숫자로 밝히지 않았다. 구멍이 모두 같은 쪽으로 몇 % 크거나 작으면, 그 체의 칸 경계가 그만큼 옮겨 간다
• 가녜 사진의 Fmin은 픽셀로 잰 값이다. 3편에서 본 대로 작은 입자일수록 픽셀 경계가 폭을 부풀리거나 줄인다

정리

• 크루브처럼 구멍이 둥근 체는 입자를 폭으로 거르고, 네모 그물 체는 납작한 조각을 대각선으로 통과시킨다. 같은 눈금 숫자라도 두께비 0.6에서 1.21배 차이가 나고, 이 가상 커피의 D50은 770 µm와 662 µm로 16% 달랐다
• 둥근 구멍 체의 답은 두께가 크기와 상관없으면 두께에 흔들리지 않는다. '폭으로 센 무게 분포'라서 사진으로 흉내 낼 수 있다
• 이 연재의 사진 D50(976 µm)은 둥근 구멍 체보다 27% 컸다. 지름 정의(ECD 대 폭)에서 11%, 사진이 못 보는 미분에서 14%가 나왔다
• 계수 하나로 맞추면 분쇄도가 바뀌어도 4% 안에서 버티지만, 미분 몫이 10%포인트 바뀌면 7~10%, 작은 입자가 더 두꺼우면 16% 어긋났다
• 사진을 폭(Fmin)과 넓이 × 폭으로 재고 300 µm 체 한 장의 무게를 보태면, 가상 커피 일곱 가지 모두 체와 1% 안에서 맞았다
• 체도 시간이 걸린다. 모델에서는 2분에 +14%, 10분에 +4%였고, 붙은 미분이 만든 +12%는 시간으로 줄지 않았다

체는 사진의 정답지가 될 수 있다. 다만 정답지에도 출제자의 버릇이 있다. 구멍 모양, 흔든 시간, 그날의 습도까지 알아야 체의 답을 정답으로 읽을 수 있다.

참고문헌

• 언스페셜티 (2023). 「분쇄도 가이드 개발기」. 링크 — 크루브 체로 사진 측정을 맞춘 선행 사례
• Kruve. Kruve Sifter. 링크 — 사진 식각(photo-etching) 스테인리스 체, 체 최대 열다섯 장, "1분이 안 걸린다". 구멍 모양과 허용 오차는 적혀 있지 않음. 구멍 모양은 판매처 제품 사진(Espresso Gear, 1400 µm 체)을 확대해 확인
• Gaudin AM (1939). Principles of Mineral Dressing. McGraw-Hill. — 체 눈을 지날 확률 ((a − d)/(a + w))². 원문은 확인하지 못했고, 교과서와 강의 자료가 가우딘에게 돌리는 꼴을 옮김
• ASTM E323. Standard Specification for Perforated-Plate Sieves for Testing Purposes. 링크 — 둥근 구멍·네모 구멍 타공판 시험 체 규격
• ISO 3310-1. Test sieves — Technical requirements and testing — Part 1: Test sieves of metal wire cloth. — 네모 그물 시험 체 규격
• Méndez Harper J et al. (2024). Moisture-controlled triboelectrification during coffee grinding. Matter 7(1), 266–283. doi:10.1016/j.matt.2023.11.005
• Gagné J. coffeegrindsize. GitHub. 링크 — 예시 사진과 입자 측정 방식

이미지 출처

• 모든 그림과 시뮬레이션: 직접 제작. 진짜 사진은 Jonathan Gagné의 coffeegrindsize 예시 사진(MIT 라이선스)이다